新人社労士の新田です。

有期労働契約が5年を超えて繰り返し更新された場合は労働者からの申し込みによって無期労働契約に転換することができます。
これは定年再雇用された有期労働者についても同様に適用されます。
無期転換となると解雇しない限りは雇用し続けることになり高齢である労働者の安全管理上のリスクを負うことになります。

そこで定年再雇用される有期労働者については有期雇用特別措置法による特例があり
・適切な雇用管理に関する計画(第二種計画認定申請書)を作成し、都道府県労働局長の認定を受けた事業主のもとで
・定年に達した後、引き続いて雇用される有期雇用労働者
については無期転換申込権が発生しないとする特例が設けられています。

高齢者であっても元気なうちは働いてほしいものですがトラブル防止のために事前に対策をしておく必要があるかと思われます。

無期転換ルールの継続雇用の高齢者に関する特例について(厚生労働省)

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